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IBRACON Structures and Materials Journal • 2012 • vol. 5 • nº 1
A variable limit for the instability parameter of wall-frame or core-frame bracing structures
4.3 Associações de pórticos com paredes
e/ou núcleos
É adotado o mesmo modelo da figura 3 e são consideradas as
mesmas definições da seção 2.2. Ao estabelecer a equação di-
ferencial da linha elástica para o conjunto de pórticos (figura 3-c),
aplica-se a equação (50), acrescentando ao esforço cortante as
parcelas relativas às forças de interação entre paredes e pórticos,
tal como foi feito na equação (19):
(67)
)(
1)(
)(
1
)()
(
)(
)
(
2
2
1
1
x
x
x
S
x x q d u Q x w
S
Q(x)
x
T
f
f
f
f
x x
+
=
+
- +
+ + -
=
ò
l
l
l
Considerando que
f
2
(
x
) pode ser desprezado na presença de 1 e
isolando as parcelas referentes às forças de interação:
(68)
)()
(
)
(
)(
)(
1
1
x x q x w x S d u Q
x
T
f
f x x
- - - -
=
+
ò
l
l
l
Ao estabelecer a equação diferencial da linha elástica para o con-
junto de paredes (figura 3-b), entra-se com o momento fletor dado
por (31) acrescido das parcelas relativas às forças de interação,
tal como foi feito na equação (21):
(69)
[
]
2
2
2
2
2
2
)()
( )( )(
)
()(
)
(
2
)
(
dx
ydEJ
xyx
xY Yq dx
u x
Q x w
x
T
=
- - -
+ -
- - -
-
ò
l
l
l
l
l
x xx
Derivando a equação (69) em relação a
x
, obtem-se:
(70)
ò
- -
+ + - -=
=
l
l
l
x
T
x x
q d u
Q x w
dx
d EJ
dx
yd EJ
)()
(
)(
)
(
2
2
2
2
2
3
3
2
f
x x
f
Substituindo (68) em (70) e rearranjando, resulta:
(71)
)(
)()
()
( )
()
(
2 1
2
1
2
2
2
x S x x
q q x
ww
dx
d EJ
f
f
f
+
- + - - + -=
l
l
Considerando que
w
1
+
w
2
=
w
(ação total do vento),
q
1
+
q
2
=
q
(ação
gravitacional total) e rearranjando novamente, obtem-se a equação
diferencial que governa o comportamento de um sistema de pórticos
e paredes/núcleos incluindo a influência das deformações:
(72)
0 )
(
)( )]
(
[
2
2
2
= - +
- - -
x w x x q S
dx
d EJ
l
l
f
f
Para a aplicação do método de Galerkin à equação (72), será as-
sumida uma solução dada pelo produto de uma função
f(x)
pela
solução linear, expressa pelas equações (25), (26) e (27):
(73)
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
+
=
-
)
(
4
)(
)(
1
2
/ 2
2
/ 2
1
x
EJ
w
eC eCxf
x
Kx
Kx
l
l
l
l
f
Substituindo (73) em (72), resulta:
(74)
+ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
+
-
)
(
4
)(
1
2
/ 2
2
/ 2
1
2
x
EJ
w
eC eCx"f EJ
Kx
Kx
l
l
l
l
(
)
(
)
-
+
+ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
-
-
l
l
l
l
l
l
l
/ 2
2
/ 2
1
2
2
2
1
2
/ 2
2
/ 2
1
2
)(
4
4
2 )(
2
Kx
Kx
Kx
Kx
eC eCxf EJ K
EJ
w
eC eCK x'f EJ
[
]
0 )
(
)
(
4
)
(
)(
1
2
/ 2
2
/ 2
1
= - +ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
+
- -
-
x w x
EJ
w
eC eCx q Sxf
Kx
Kx
l
l
l
l
l
l
Assumindo que
f(x)
seja uma função constante, implica em serem
nulas a primeira e a segunda parcelas da equação (74), uma vez
que elas estão com as derivadas
f
´
(x)
e
f
˝
(x)
em evidência. Além
disso, considerando a definição já existente de
K
, bem como a de
S
(equação 18), pode-se escrever:
(75)
S
EJ
EJ K
=
=
2
1
2
2
2
4
4
l
l
Em conseqüência disto, a terceira parcela da equação (74) can-
cela-se com alguns termos da quarta e a equação fica reduzida a:
(76)
[
]
0 )( 1 )
(
4
)(
1
2
/ 2
2
/ 2
1
=
- +ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
+
-
xf
w x
EJ
w
eC eCxfq
Kx
Kx
l
l
l
l
O método de Galerkin será utilizado para encontrar uma fun-
ção
(x) f
= constante, que seja uma boa aproximação para a
f(x)
envolvida na equação (76). De acordo com (28), pode-se
escrever:
(77)
1 )(
)(
1
11
=
'
=
x
x a (x) f
j
j
A aplicação da equação (29) para este caso assume a forma:
(78)
[
]
{
}
0
) 1(
4)
(
0
1
1
2
2
2
2
1
1
=
-
+
ò
-
dx
- a
+ w
EJ x
w
e + C eCq a
Kx/
Kx/
l
l
l
l l