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IBRACON Structures and Materials Journal • 2012 • vol. 5 • nº 1
R. J. ELLWANGER
onde
C
é a constante de integração. Aplicando a equação (54)
para
x
= 0 e
x
=
l
, pode-se expressar a diferença:
(55)
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
-
-
= -
q
S
q
w
q S
S
q
wS ) Y( )Y(
2
ln
0
3
2
l l
l
l
Assim, o momento fletor na base pode ser expresso, substituindo-
-se a equação (55) na (32):
(56)
q
Sw
S q
ln
q
wS
q
S
w
q S
S ln
q
wS w )M(
l
l
l
l
l
l
-
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
-
-
+ =
/
1
1
2
2
0
2
2
2
2
2
Aplicando-se a este momento fletor a condição expressa pela ine-
quação (1), resulta:
(57)
2
4111
41
41
411
1
ln
41
41
2
2 2
2
l
l
l
w ,
,
q,
Sw ,
Sq,
q ,
w S,
´ £
-
-
Efetuando-se os devidos algebrismos, a inequação (57) transfor-
ma-se em:
(58)
770 1
411
1
ln
41
1
2
,
/Sq /Sq,
/S)
(q,
£ -
-
l
l
l
Tomando-se o fator
q
l
/
S
como incógnita, pode-se resolver a ine-
quação (58) por meio de tentativas, obtendo-se:
(59)
0962 ,0 /
£
S q
l
Substituindo
S
pela expressão (18), resulta:
(60)
3848 0
2
,
/EJ q
£ ×
l
l
De acordo com a ABNT [8], a não-linearidade física poderia ser
considerada, substituindo-se
EJ
por (
EI
)
sec
dado por (12). Todavia,
a relação (
EI
)
sec
/
E
CS
I
C
do conjunto de barras do pórtico, como uma
função das relações (
EI
)
sec
/
E
CS
I
C
das barras individuais, não pode ser
considerada fixa; ela pode variar em função de vários fatores, como
número e altura dos andares, número e extensão dos vãos, relação
entre as dimensões transversais de vigas e pilares etc. Pinto e Rama-
lho [11] mostram que a influência da não linearidade física na rigidez
lateral dos pórticos depende principalmente das taxas de armadura e
da magnitude do carregamento aplicado, tendo obtido relações (
EI
)
sec
/
E
CS
I
C
para o estado limite último variando entre 0,51 e 0,75.
Por outro lado, Schueler [12] afirma que a contribuição da flexibilidade
das vigas para a deformação lateral de um pórtico pode chegar a 65%,
restando 35% devidos à flexibilidade dos pilares. Assim, considerando
a situação de projeto de um pórtico esbelto (na qual a predominância
dos efeitos do vento leva a uma tendência de igualdade entre as ar-
maduras
A
s
e
A
s
’ das vigas), podem-se utilizar as equações (10) e (11)
para relacionar as parcelas dos deslocamentos horizontais do pórtico
com a consideração da não-linearidade física (
y
NL
), relativas às vigas
(y
NL
VIGAS
) e aos pilares (y
NL
PILARES
), com as correspondentes parcelas
(y
L
VIGAS
) e (y
L
PILARES
) dos deslocamentos horizontais resultantes da análi-
se linear (
y
L
). Simultaneamente, podem-se aplicar as recémmenciona-
das proporções de 35% e 65% de participação destas parcelas em re-
lação aos deslocamentos totais, resultando as seguintes expressões:
(61)
941 ,0
35,0
941 ,0
L
L
NL
PILARES
PILARES
y
y
y
=
=
(62)
588 ,0
65,0
588 ,0
L
L
NL
VIGAS
VIGAS
y
y
y
=
=
Em seguida, efetuando a soma das parcelas expressas por (61)
e (62), obtem-se a seguinte relação entre os deslocamentos hori-
zontais totais
y
NL
e
y
L
:
(63)
677 ,0
588 ,0
65,0
941 ,0
35,0
L
L
L
NL
y
y
y
y
=
+
=
Como a rigidez lateral do pórtico é inversamente proporcional a
esses deslocamentos, pode-se escrever:
(64)
C CS
IE
EI
677 ,0 ) (
sec
=
Considerando esta expressão de (
EI
)
sec
e seguindo a mesma linha
dedutiva que levou às inequações (45) e (46), obtem-se:
(65)
510,
/
C CS
k
tot
£
´
IEN H
Observe-se a coerência desta inequação com a ABNT [8], a qual
fixa em 0,5 o coeficiente
a
1
, quando o contraventamento for cons-
tituído exclusivamente por pórticos. Na verdade, para obter-se
a
1
= 0,5, dever-se-ia ter:
(66)
CCi
C CS
IE
IE
EI
552 ,0
650 ,0 ) (
sec
=
=