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IBRACON Structures and Materials Journal • 2012 • vol. 5 • nº 1
A variable limit for the instability parameter of wall-frame or core-frame bracing structures
A condição de que, no estado limite último (cargas majoradas em
1,4), os efeitos de 2ª ordem não podem superar em mais de 10%
os efeitos de 1ª ordem (inequação (1)), é aplicada ao momento
fletor na base, obtendo-se:
(43)
2
1,4 1,1
1,4
8
/5 1,4
8
2
1,4
2
3
3
2
l
l
l
l
w
q
EJ
q
EJ
w
´ £
-
-
´
Os termos w
l
2
, em evidência em ambos os lados da inequação, desa-
parecem. Efetuando-se os devidos algebrismos, obtem-se:
(44)
6349 ,0
/
3
£
EJ q
l
Como uma parede ou núcleo tem comportamento equivalente
ao de um pilar, a consideração da não-linearidade física pode
ser feita adotando-se para
EJ
a expressão 0,941
E
CS
I
C
, de acor-
do com a equação (11). Por outro lado, lembrando que q
l
é a
carga vertical total
N
k
e que
l
é a altura
H
tot
, a inequação (44)
transforma-se em:
(45)
5974 0,
/
CCS
k
2
tot
£
´
IEN H
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros:
(46)
773 0,
/
C CS
k
tot
£
´
IEN H
A inequação (46) indica, assim, um valor
a
1
= 0,773. Por sua vez,
a ABNT [8] permite que seja aumentado para até 0,7 o coeficiente
a
1
, quando o contraventamento for constituído exclusivamente por
paredes ou núcleos.
4.2 Subestruturas do tipo pórticos planos
No caso de contraventamento formado exclusivamente por pórti-
cos, a barra equivalente da figura 4-a terá predominância de de-
formações por corte. Também neste caso, a expressão das soli-
citações deve levar em consideração a configuração deformada.
Pode-se provar que os infinitésimos
ds
e
dx
da figura 4-b estão
relacionados por:
(47)
2
2 2
2
2
2
1
)
1(
f+ =
+
= + =
dx
dx dy
dx
dy dx
ds
O esforço cortante pode ser obtido a partir da derivação da equa-
ção (31) em relação ao eixo deformado da barra. Introduzindo
ds
dado por (47), obtem-se:
(48)
)(
1
)()
( )
(
)(
1
)(
2
2
x
x x q x w
x
dx dM
ds
dM xQ
f
f
f
+
- + -
=
+
-
= -=
l
l
Trata-se de um esforço cortante inclinado, conforme mostra a fi-
gura 4-b. A deformação por corte provocado por ele tem a mesma
inclinação, sendo dada, a nível infinitesimal, por:
(49)
2
2
1
11
cos
f
f
f
+ =
+
=
=
dy
dy
ds dx
dy
dy
Ao estabelecer a equação diferencial da linha elástica para este
caso, devem-se realizar duas adaptações em relação à equação
(16): entrar com
dy
/cos
f
, dado por (49), no lugar de
dy
e com
Q(x)
dado por (48). Desta forma, obtem-se:
(50)
(x)
S
(x) x)
q(
x)
w(
S
Q(x)
x
dx
dy
2
2
1
)(
1
f
f
f
+
- + -
=
=
+
l
l
Assim:
(51)
)] (
1[
)(
)(
2
x
S
x x)
q(
x)
w(
dx
dy
x
f
f
f
+
- + -
= =
l
l
Nos casos de que trata o presente trabalho, isto é, de
não-linearidade geométrica “branda”, as rotações
f
(
x
) apresen-
tam valores bem menores do que a unidade; portanto,
f
2
(
x
)
pode ser desprezado na presença de 1 e a equação (51) pode
ser posta na forma:
(52)
)()
(
)
(
)(
x x q x w x S
f
f
- + - =
l
l
Isolando
f
(
x
):
(53)
)
(
)
(
)(
x q S
x w x
- -
-
=
l
l
f
Integrando a equação (53) em relação a
x
e aplicando a condição
de deslocamento nulo na base, obtem-se a função dos desloca-
mentos. Integrando novamente, obtem-se:
(54)
[
] [
]
{
}
C )x (
q
w )q (S x
q
Sw
x)
q( S x)
q( S
q
Sw Y(x)
+ +
- -
-- - - ×
- -
=
2
2
2
3
2
ln
1
ln
l
l
l
l