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IBRACON Structures and Materials Journal • 2012 • vol. 5 • nº 1
R. J. ELLWANGER
4. Dispensa da consideração dos efeitos
de segunda ordem
As seções 4.1 e 4.2 apresentam a formulação do comportamento
não-linear geométrico, respectivamente, de conjuntos de paredes/
núcleos e de pórticos. Para ambos os casos, são deduzidos os
limites
a
1
do parâmetro de instabilidade, confrontando-os com os
valores prescritos pela ABNT [8]. A seção 4.3 realiza o mesmo para
as associações destes tipos de subestruturas, obtendo-se uma ex-
pressão para o limite variável
a
1
, objetivo principal deste trabalho.
A figura 4-a mostra a deformada de uma barra equivalente a
um sistema de contraventamento, submetida a cargas uniforme-
mente distribuídas de taxas
w
e
q
, respectivamente, nas direções
horizontal e vertical;
q
é dado pela soma das taxas
p
e
v
da figura
1-b. Levando em consideração a deformação da barra (não-line-
aridade geométrica) e representando por
Y
a função primitiva dos
deslocamentos
y(x)
, o momento fletor será dado por:
(30)
x
x
dxy
yq
x w xM
x
)] ( )([
2/ )
(
)(
2
-
+
- =
ò
l
l
ou
(31)
[
]
)()
( )( )(
2/)
(
)(
2
xyx
xY Yq
x w xM
- - -
+
- =
l
l
l
Considerando que
y
(0) = 0, o momento fletor na base será ex-
presso por:
(32)
[
]
)0( )(
2
)0(
2
Y Yq
w M
-
+
=
l
l
4.1 Subestruturas do tipo paredes ou núcleos
No caso de contraventamento formado exclusivamente por pare-
des e/ou núcleos, a equação diferencial da linha elástica será obti-
da substituindo-se
M(x)
dado por (31) na equação (13):
(33)
[
]
)()
( )( )(
2/ )
(
/
2
2
2
xyx
xY Yq
x w dx ydJE
- - -
+
- =
l
l
l
Derivando-a em relação a
x
e considerando que as rotações são
dadas por
f
(
x
) =
dy
/
dx
, a equação (33) transforma-se em:
(34)
0 )
(
)()
(
2
2
= - +
- +
x w x x q dx dJE
l
l
f
f
Pode-se obter uma solução aproximada para a equação (34) por meio do
método de Galerkin. Assumindo que esta solução seja proporcional à
f
(
x
)
devida exclusivamente aos efeitos de primeira ordem, pode-se escrever:
(35)
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ - - =
=
3
1
11
1 1
)(
)(
l
x
a x a x
j
f
onde
)(
1
x
ϕ
foi obtido derivando-se a equação (14) em relação a
x
e suprimindo-se a constante que ficaria em evidência. Aplicando
a equação (29) com
n
= 1, obtem-se sucessivamente:
(36)
(
)
0 )(
)(
)( )(
0
1
11
0
1
=
×
=
×
ò
ò
l
l
dxx
x aL
dx x
L
j j
jf
(37)
( )
( )
ò
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ - - ×
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
- +
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ - -
- +÷
ø
ö
ç
è
æ -
l
l
l
l
l
l
l
0
3
3
1
2
1
0
1 1
1 1
1
6
dx x
x w x
ax q
x EJa
Efetuando-se a integração e isolando
a
1
, resulta:
(38)
3
3
1
3
24
4
l
l
q EJ
w
a
-
=
Substituindo (38) em (35), obtem-se a solução aproximada:
(39)
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ - -
-
=
3
3
3
1 1
3
24
4
)(
l
l
l
x
q EJ
w
x
f
Integrando (39) em relação a
x
e aplicando a condição de deslo-
camento nulo na base, obtem-se a função dos deslocamentos.
Integrando novamente, obtem-se:
(40)
C x x
x
q EJ
w
xY
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
- +÷
ø
ö
ç
è
æ - -
-
=
l
l
l
l
l
2
5
3
4
2
1
5
3
24
)(
onde
C
é a constante de integração. O momento fletor na base
pode ser obtido, combinando-se as equações (32) e (40):
(41)
)
5(8
2
2
)0(
3
5
2
l
l
l
q EJ
qw
w M
-
+ =
A equação (41) pode ser transformada sucessivamente em:
(42)
3
3
2
3
3
2
8
5/
8
2
)
5(8
4
1
2
)0(
l
l
l
l
l
l
q EJ
q EJ
w
q EJ
q
w M
-
-
×
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
+ ×
=